Bir Mantıkçının Gözünden Sıkça Sorulan Sorulara Yanıtlar

Özet

Okul hayatında öğrencilere matematikte sayılarla ve kümelerle ilgili bir sürü bilginin ezberletildiğini biliyoruz. Liseden henüz mezun olup üniversitede matematik dersi alan öğrenciler (özellikle sayısal temelden gelmeyenler), ezberletilen bilgilerin ve formüllerin altında yatan gerekçelerini doğal olarak bilmeden geliyorlar. Öğretildiği ama anlamadıkları için değil, zaten öğretilmediği için. Örneğin, ortaokullarda ya da liselerde, “Boş küme her kümenin altkümesidir” diye bir şey ezberletilir ama bunun neden gerçekten öyle olduğu hakkında mantıklı ya da anlamlı bir açıklama yapılmaz. Bu gibi benzer iddialar veya temel tanımlar için açıklama yapılması istendiğinde “İşimize öyle geliyor o yüzden” demek de çok tatmin edici gelmiyor bana. Ben bunun yerine “Öyle olmasaydı ne olurdu?” sorusunu sorduktan sonra bir saçmalık/anlamsızlık bulup, “Demek ki öyle olmalı” demenin daha ikna edici olduğuna inanıyorum. Sık kullanılan matematiksel gerçeklerin sebeplerini bilmek, bir kişinin matematik altyapısını mutlaka güçlendirir. Bu yazıda, hakkında sıkça sorulan bazı matematiksel gerçeklerin nedenlerini olabildiğince anlamlandırarak yazmaya çalışacağım. Bo¸s Küme Neden Her Kümenin Altkümesidir? Boş kümenin ∅ ile gösterildiğini biliyoruz. “Boş küme her kümenin altkümesidir” demek, “Eğer 𝐴 herhangi bir kümeyse, ∅ ⊆ 𝐴” olduğunu söylemekle aynı şeydir. 𝐴 herhangi bir küme olsun; ∅ ⊆ 𝐴 ifadesinin doğru olması demek, “Eğer 𝑥 ögesi boş kümenin içindeyse, 𝑥 öğesi 𝐴’nın da içindedir” demektir. Tırnak içindeki önerme, 𝑝 → 𝑞 biçiminde bir koşullu önermedir. Önermenin 𝑝 yani öncül kısmı “𝑥 ∈ ∅” ifadesine karşılık gelir, 𝑞 yani ardıl kısmı da “𝑥 ∈ 𝐴” ifadesine karşılık gelir. Demek ki ∅ ⊆ 𝐴 ifadesinin doğru olması, belirtilen 𝑝 → 𝑞 biçimindeki önermenin doğru olmasıyla aynı şeydir. Peki buradaki 𝑝 → 𝑞 önermesi doğru mu? Evet! Çünkü 𝑝 önermesi yanlış! Hiçbir zaman 𝑥 ∈ ∅ doğru olmaz. Önermeler mantığından biliyoruz ki 𝑝 → 𝑞 önermesinin doğruluk tablosu gereği, eğer 𝑝 yanlışsa, 𝑞 ne olursa olsun, 𝑝 → 𝑞 doğru olur. Demek ki ∅ ⊆ 𝐴 ifadesinin eşdeğeri olan “Her 𝑥 için, 𝑥 eğer boş kümenin içindeyse, 𝑥 𝐴’nın içindedir” önermesi doğrudur. Çünkü hiçbir 𝑥 için, 𝑥 boş kümenin bir elemanı değildir, boş kümenin hiç elemanı yoktur. Boş kümenin içinde bir eleman olup bu eleman 𝐴 kümesinde olmasaydı o zaman yanlış olurdu. Ama boş kümenin içinde bir eleman yok. Demek ki önerme yanlış değil. Yanlış değil demek doğru demektir. Yani ∅ ⊆ 𝐴 ifadesi de böylece doğrudur. 𝟏 ve 𝟎, 𝟗 Sayıları Birbirine Neden E¸sittir? 1’den küçük en büyük reel sayı 0, 9 (yani 0, 999 …) değil midir? Reel sayılarla ilgili mevcut tanımlarımıza, varsayımlarımıza ve ilkelerimize göre 1 ve 0, 9 aynı sayılardır. Aynı olmadığını kabul etmek zaten Arşimet özelliğine aykırıdır. Arşimet özelliği, verilen herhangi iki pozitif 𝑥 ve 𝑦 sayısı için, 𝑥𝑛 > 𝑦 özelliğini sağlayan bir 𝑛 doğal sayısının var olduğunu söyler. Eğer bu iki sayı aynı olmasaydı, 1 − 0, 9 işleminin sonucunun sonsuz küçük sayı olması beklenirdi. Yani 0, 9 sayısı, 1’in altındaki en büyük öge olurdu. 1 ile 0, 9 arasında başka bir sayı var olamazdı. Ancak bu sezgilerimize de ters düşüyor. 0, 9 sayısı 1’in altındaki en büyük sayı olsaydı reel sayılarda bir boşluk söz konusu olurdu. Sonsuz küçük sayı diye bir şey yoktur. Arşimet ilkesi, sonsuz küçük sayının varlığını yasaklamıştır. Bu sezgisel açıklama tatmin etmediyse 1’in 0, 9 sayısına eşit olduğunun çeşitli kanıtlarına bakılabilir. Birçok kanıtı olmakla beraber, bunlardan biri limit tanımıyla şöyle yapılır: